坐標幾何

這個課題的技巧和方法（由淺入深）

1. 1距離公式橫向差和直向差是直角邊，AB 是斜邊

   方法A(1, 2)、B(4, 6)：3² + 4² = 5

   另一種做法：畫直角三角形橫 3 格、直 4 格，斜邊 = 5

2. 2中點公式中點 = 兩端坐標的平均數

   方法A(2, 7)、B(8, −1)：M = (5, 3)

   另一種做法：走一半的路程2 + 6 ÷ 2 = 5，7 − 8 ÷ 2 = 3

3. 3內分點公式x₁ 乘 s、x₂ 乘 r，再除以 r + s

   方法AP : PB = 1 : 2：P = (2 × 1 + 1 × 73, 2 × 2 + 1 × 113) = (3, 5)

   另一種做法：走 r/(r + s) 的路程1 + 6 × 13 = 3，2 + 9 × 13 = 5

4. 4斜率斜率 = 直向變化 ÷ 橫向變化，上下同一次序

   方法A(1, 2)、B(5, 8)：8 − 25 − 1 = 32

   另一種做法：在圖上數格向右 4 格、向上 6 格：64 = 32

5. 5斜率的應用共線：斜率相等；未知坐標：列斜率的方程

   方法k − 36 − 2 = 12，k = 5

   另一種做法：走路程4 × 12 = 2，3 + 2 = 5

6. 6平行線與垂直線的斜率平行：斜率相等；垂直：斜率積 = −1

   方法23 × (−32) = −1

   另一種做法：倒轉再變號23 → 32 → −32

7. 7坐標幾何證明直角：斜率積 −1 或畢氏逆定理；平行：斜率相等

   方法12 × (−2) = −1，所以 AB ⊥ BC

   另一種做法：用距離證明AB² + BC² = 20 + 20 = 40 = AC²

8. 8外分點外分點：r x₂ − s x₁r − s

   方法AP : PB = 3 : 1：x = 3 × 3 − 1 × 12 = 4

   另一種做法：走路程AB 是 2 份，由 B 再走 1 份：3 + 2 ÷ 2 = 4

例題

來自這個課題的不同技巧。先自己想一想，再打開看答案和步驟。

1. 例題 1距離公式 →

   圖中，由 A 到 B 橫向走了 個單位，直向走了 個單位，所以 AB = 。

   填上每個空格

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   答案：3，4，5

   橫向 3、直向 4 是直角三角形的兩條直角邊，AB 是斜邊：3² + 4² = 5。

2. 例題 2斜率的應用 →

   直線經過 A(−4, 4) 和 B(2, k)，斜率是 −32。k =

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   答案：−5

   k − (4)2 − (−4) = −32，k − (4) = −32 × 6 = −9，k = −5。

3. 例題 3外分點 →

   P 在 AB 的延長線上，A(−6, −2)，B(2, 6)，AP : PB = 5 : 1。P = (, )。

   填上每個空格

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   答案：4，8

   外分點：P = (5 × (2) − 1 × (−6)4, 5 × (6) − 1 × (−2)4) = (164, 324) = (4, 8)。