相似三角形

這個課題的技巧和方法（由淺入深）

1. 1相似三角形的對應邊按字母次序對應；大的邊 = 小的邊 × 比例

   方法△ABC ~ △PQR，PQ ÷ AB = 12 ÷ 4 = 3，QR = 5 × 3 = 15

   另一種做法：列比例式x5 = 124，4x = 60，x = 15

2. 2相似三角形的條件AAA、三邊成比例、兩邊成比例且夾角相等

   方法64 = 96 = 128 = 1.5：三邊成比例

   另一種做法：先求第三個角180° − 50° − 70° = 60°：兩個三角形都是 50°、60°、70°，AAA

3. 3平行線與相似三角形A 字形：AD 對 AB（不是 DB）；沙漏形：AB 對 CD

   方法AD = 2，DB = 3，BC = 10：DE = 10 × 25 = 4

   另一種做法：列比例式DE10 = 25，5 × DE = 20，DE = 4

4. 4證明三角形相似一行一對、附理由；公共角、對頂角、平行線的角

   方法∠A = ∠A（公共角），∠ADE = ∠ABC（同位角），△ADE ~ △ABC（AAA）

   另一種做法：用兩邊和夾角ADAB = 39 = 13，AEAC = 412 = 13，∠A 公共

5. 5相似多邊形角全相等、邊全成比例；角不用乘

   方法k = 9 ÷ 6 = 1.5，QR = 4 × 1.5 = 6，∠Q = ∠B

   另一種做法：列比例式QR4 = 96，6 × QR = 36，QR = 6

6. 6相似圖形的面積比面積比 = 邊長比²；周界比 = 邊長比

   方法邊長比 2 : 5，面積 8 × 254 = 50

   另一種做法：用比例式4 : 25 = 8 : A，A = 8 × 25 ÷ 4 = 50

7. 7謝爾賓斯基三角形每步：個數 × 3，面積 × 34，邊長 ÷ 2

   方法第 3 步：3³ = 27 個，面積 (34)³ = 2764

   另一種做法：逐步計算1 → 3 → 9 → 27；14 × 14 × 14 = 164，27 × 164 = 2764

例題

來自這個課題的不同技巧。先自己想一想，再打開看答案和步驟。

1. 例題 1相似三角形的對應邊 →

   圖中 △ABC ~ △XYZ。x = ，y =

   填上每個空格

   ▶看答案和步驟

   答案：16，14

   比例 = XY ÷ AB = 8 ÷ 4 = 2：x = 8 × 2 = 16，y = 7 × 2 = 14。

2. 例題 2證明三角形相似 →

   圖中 ∠ADE = ∠ACB。△ADE 和以下哪一個三角形相似（頂點按對應的次序寫）？

   • A. △ACB
   • B. △BCA
   • C. △ABC
   • D. △CAB

   選出正確答案

   ▶看答案和步驟

   答案：A. △ACB

   ∠A 公共，∠ADE = ∠ACB，所以 A 對 A、D 對 C、E 對 B：△ADE ~ △ACB（AAA）。

3. 例題 3謝爾賓斯基三角形 →

   圖中是謝爾賓斯基三角形的其中一步。由這一步再畫 2 步，塗色的小三角形共有 個。

   ▶看答案和步驟

   答案：243

   圖中有 27 個塗色三角形；每畫一步，每個變成 3 個：27 × 3² = 243。