三角形的心

這個課題的技巧和方法（由淺入深）

1. 1角平分線的性質角平分線上的點到兩邊（垂直）距離相等

   方法PM = 3 cm：PN = 3 cm，∠POM = 70° ÷ 2 = 35°

   另一種做法：用全等三角形△OPM ≅ △OPN（AAS），PM = PN

2. 2垂直平分線的性質垂直平分線上的點到線段兩端距離相等

   方法AM = 4，PM = 3：PA = PB = 4² + 3² = 5

   另一種做法：用全等三角形△PAM ≅ △PBM（SAS），PA = PB

3. 3內心內心：三條角平分線的交點，到三邊距離相等

   方法∠IBC = 30°，∠ICB = 40°：∠BIC = 180° − 70° = 110°

   另一種做法：∠BIC = 90° + ∠A ÷ 2∠A = 40°：90° + 20° = 110°

4. 4外心外心：三條垂直平分線的交點，到三個頂點距離相等

   方法OA = OB = OC；直角三角形斜邊 10：OA = 10 ÷ 2 = 5

   另一種做法：等腰三角形追角OA = OB：∠OAB = ∠OBA

5. 5形心形心：三條中線的交點，AG : GD = 2 : 1

   方法AD = 12：AG = 12 × 23 = 8，GD = 4

   另一種做法：分成 3 份12 ÷ 3 = 4，AG = 2 × 4 = 8

6. 6垂心垂心：三條高的交點；直角三角形在直角頂點

   方法∠A = 50°：∠ABE = 90° − 50° = 40°

   另一種做法：∠BHC = 180° − ∠A360° − 90° − 90° − 50° = 130°

7. 7辨認三角形的心角平分線→內心；垂直平分線→外心；中線→形心；高→垂心

   方法直角三角形：外心在斜邊中點，垂心在直角頂點

   另一種做法：看記號邊的中點有直角記號：垂直平分線，外心

例題

來自這個課題的不同技巧。先自己想一想，再打開看答案和步驟。

1. 例題 1角平分線的性質 →

   圖中 OP 平分 ∠AOB，PM ⊥ OA，PN ⊥ OB。x =

   ▶看答案和步驟

   答案：8 cm

   P 在角平分線上，到兩邊的距離相等：x = PM = 8（角平分線定理）。

2. 例題 2外心 →

   O 是 △ABC 的外心，OA = 12 cm。OC =

   ▶看答案和步驟

   答案：12 cm

   外心到三個頂點的距離相等（垂直平分線定理）：OC = OA = 12 cm。

3. 例題 3辨認三角形的心 →

   圖中的 P 是 △ABC 的哪一個心？

   • A. 外心
   • B. 內心
   • C. 形心
   • D. 垂心

   選出正確答案

   ▶看答案和步驟

   答案：B. 內心

   看線由哪裏出發和記號：角上的等弧是角平分線，邊中點的直角是垂直平分線，邊上的等分記號是中線，頂點出發到對邊的直角是高。