多邊形

這個課題的技巧和方法（由淺入深）

1. 1正多邊形邊全相等、角全相等；正 n 邊形有 n 條對稱軸、n 折旋轉對稱

   方法正六邊形：6 條對稱軸，每轉 360° ÷ 6 = 60° 重合

   另一種做法：由中心看中心角 = 360° ÷ n：正八邊形 360° ÷ 8 = 45°

2. 2多邊形的內角和內角和 = (n − 2) × 180°；正多邊形每個內角 = 內角和 ÷ n

   方法六邊形：(6 − 2) × 180° = 720°，正六邊形每個內角 720° ÷ 6 = 120°

   另一種做法：由內部一點分6 × 180° − 360° = 720°

3. 3多邊形的外角和外角和永遠是 360°；邊數 = 360° ÷ 每個外角

   方法內角 140°：外角 180° − 140° = 40°，n = 360° ÷ 40° = 9

   另一種做法：用內角和列方程(n − 2) × 180 = 140n，n = 9

4. 4密鋪每個頂點的角加起來要剛好 360°

   方法正六邊形：3 × 120° = 360°，可以；正五邊形：360° ÷ 108° 不是整數，不可以

   另一種做法：把角加起來135° + 135° + 90° = 360°：兩個正八邊形和一個正方形

5. 5作等邊三角形、正方形與正六邊形等邊三角形：兩段同半徑的弧；正方形：兩條互相垂直的直徑（直角用三角尺）；正六邊形：半徑在圓上截 6 次

   方法AC = BC = AB：三邊相等

   另一種做法：六個等邊三角形6 × 60° = 360°，每個內角 60° + 60° = 120°

6. 6作正五邊形中心角 72°，內角 108°；邊長 CN 在圓上截 5 次

   方法∠BAC = (180° − 108°) ÷ 2 = 36°

   另一種做法：用外角360° ÷ 5 = 72°，180° − 72° = 108°

例題

來自這個課題的不同技巧。先自己想一想，再打開看答案和步驟。

1. 例題 1正多邊形 →

   O 是圖中正多邊形的中心。x =

   ▶看答案和步驟

   答案：30°

   這個正多邊形有 12 條邊，12 個中心角相等，合起來是一周：x = 360° ÷ 12 = 30°。

2. 例題 2密鋪 →

   只用同一種有 4 條邊的正多邊形，可以密鋪平面。

   判斷對錯

   ▶看答案和步驟

   答案：對

   這種正多邊形每個內角 90°（4 條邊）。在每個頂點，角要剛好湊成 360°，即 360° ÷ 內角要是整數：只有正三角形、正方形和正六邊形可以。

3. 例題 3作正五邊形 →

   O 是圖中正五邊形的中心。x =

   ▶看答案和步驟

   答案：72°

   五個中心角相等，合起來是一周：x = 360° ÷ 5 = 72°。