幾何與證明｜14–15 歲（中三）
三角形的心工作紙
內容：角平分線的性質、垂直平分線的性質、內心、外心、形心、垂心、辨認三角形的心
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三角形的心工作紙
幾何與證明｜14–15 歲（中三）
數靈精
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請在空位寫上答案。應用題要列式計算，並寫出答句。
一、計算及填充（每題 2 分）
1.圖中 PM 是 AB 的垂直平分線。x =
答：
2.點 P 在線段 AB 的垂直平分線上，PA = (2x + 1) cm，PB = (3x − 1) cm。x =
答：
3.I 是 △ABC 的內心，I 到 BC 的距離是 4 cm。I 到 AB 的距離 =
答：
4.I 是 △ABC 的內心，∠ABC = 52°，∠ACB = 46°。∠IBC = °，∠ICB = °，∠BIC = °
填上每個空格
答：
5.圖中 O 是 △ABC 的外心。x =
答：
6.△ABC 中 ∠C = 90°，AC = 21 cm，BC = 72 cm。外接圓的半徑 =
答：
7.G 是 △ABC 的形心，BE 是中線，BE = 6 cm。BG = cm，GE = cm
填上每個空格
答：
8.G 是 △ABC 的形心，D 是 BC 的中點，△ABC 的面積是 18 cm²。△GBD 的面積 =
答：
9.△ABC 中 AD ⊥ BC，D 在 BC 上，∠ACB = 78°。∠DAC =
答：
二、選擇及判斷（每題 2 分）
10.圖中 OP 平分 ∠AOB，PM ⊥ OA，PN ⊥ OB。所以 PM = PN（ ? ）。「?」應填哪一個理由？
- A. 已知
- B. 角平分線定理
- C. 垂直平分線定理
- D. 角平分線定理的逆定理
選出正確答案
答：
11.點 P 到 ∠AOB 兩邊的垂直距離是 8 cm 和 9 cm。P 在 ∠AOB 的平分線上。
判斷對錯
答：
12.△ABC 中 ∠B = 50°，∠C = 55°。以下哪一個圖中的 P 是 △ABC 的形心？
- A
- B
- C
- D
選出正確的圖
答：
三、應用題（每題 4 分）
13.兩條筆直的公路在 O 點相交成 44°。路燈 P 放在這個角的平分線上，離其中一條公路 18 m。P 離另一條公路 m，OP 和公路所成的角是 °。
填上每個空格
列式計算：
答：
14.兩條村莊 A、B 相距 180 m。在 AB 的垂直平分線上，離 AB 的中點 M 120 m 處開一口井 P。AM = m，井到每條村莊 m。
填上每個空格
列式計算：
答：
15.一塊三角形草地 ABC，∠B = 76°，∠C = 56°。灑水器 I 要到三邊的距離相等。∠IBC = °，∠ICB = °，∠BIC = °
填上每個空格
列式計算：
答：
16.三間屋 A、B、C 組成一個直角三角形，∠C = 90°，AC = 168 m，BC = 576 m。要建一座訊號塔，到三間屋的距離相等。AB = m，塔到每間屋 m。
填上每個空格
列式計算：
答：
17.三角形招牌的形心 G 在中線 AD 上，GD = (x + 1) cm，AG = (3x − 6) cm。x 是多少？
列式計算：
答：
18.一塊邊長約 39 cm 的三角形紙板，要放在一支鉛筆尖上平衡。鉛筆尖應頂着哪一個心？
- A. 外心
- B. 垂心
- C. 內心
- D. 形心
選出正確答案
列式計算：
答：
看答案和詳細步驟
三角形的心工作紙・答案及詳解
一、計算及填充
1. 20 cm
P 在 AB 的垂直平分線上，到 A、B 的距離相等：x = PA = 20（垂直平分線定理）。
2. 2
PA = PB（垂直平分線定理）：2x + 1 = 3x − 1，x = 2。檢查：PA = PB = 5 cm。
3. 4 cm
內心到三條邊的距離都相等（角平分線定理）：4 cm。
4. 26，23，131
BI、CI 是角平分線：∠IBC = 26°，∠ICB = 23°；∠BIC = 180° − 26° − 23° = 131°。
5. 35°
OA = OB（外心到頂點距離相等），△OAB 是等腰三角形：x = ∠OAB = 35°（等腰三角形底角）。
6. 37.5 cm
AB = 212 + 722 = 75 cm（畢氏定理）；外心在斜邊中點，半徑 = 75 ÷ 2 = 37.5 cm。
7. 4，2
BG : GE = 2 : 1，共 3 份，每份 6 ÷ 3 = 2 cm：BG = 4 cm，GE = 2 cm。
8. 3 cm²
三條中線把 △ABC 分成 6 個面積相等的小三角形：18 ÷ 6 = 3 cm²。（也可以：△ABD 佔一半，△GBD 佔 △ABD 的 13。）
9. 12°
△ADC 中 ∠ADC = 90°：∠DAC = 180° − 90° − 78° = 12°。
二、選擇及判斷
10. B. 角平分線定理
P 在角平分線上，到角的兩邊距離相等：角平分線定理。
11. 錯
到兩邊距離相等的點才在角平分線上（角平分線定理的逆定理）。
12. A
形心由三條中線找出：線由頂點連到對邊的中點，邊被分成相等的兩段，沒有直角記號。
三、應用題
評分：列式 2 分、答案 1 分、答句 1 分。
13. 18，22
角平分線上的點到兩邊距離相等（角平分線定理）：18 m；平分線把 44° 分成兩個 22°。
14. 90，150
AM = 180 ÷ 2 = 90 m；PA = 902 + 1202 = 150 m（畢氏定理），PB = PA（垂直平分線定理）。
15. 38，28，114
到三邊距離相等的點是內心，在角平分線上：∠IBC = 38°，∠ICB = 28°，∠BIC = 180° − 38° − 28° = 114°。
16. 600，300
AB = 1682 + 5762 = 600 m；到三個頂點距離相等的點是外心，直角三角形的外心在斜邊中點：600 ÷ 2 = 300 m。
17. 8
AG = 2 × GD：3x − 6 = 2(x + 1)，x = 8；中線 AD = 3 × 9 = 27 cm。
18. D. 形心
形心（三條中線的交點）是平衡點：每條中線把面積分成相等的兩半。
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