概率

這個課題的技巧和方法（由淺入深）

1. 1必然、不可能和隨機事件包含全部結果：必然；一個也不包含：不可能；其餘：隨機

   方法骰子：「擲得 7」不可能，「小於 7」必然，「雙數」隨機

   另一種做法：運氣最差的情況3 紅 4 藍：最少抽 4 + 1 = 5 個才必定有紅球

2. 2概率的意義0 ≤ P ≤ 1；P(不發生) = 1 − P；實驗概率 = 次數 ÷ 總次數

   方法P(下雨) = 310，P(不下雨) = 1 − 310 = 710

   另一種做法：由次數估計120 次 × 16 = 20 次

3. 3等可能結果的概率P = 有利結果 ÷ 全部結果，化成最簡分數

   方法3 紅 5 藍：P(紅) = 3 ÷ 8 = 38

   另一種做法：用 1 減去1 − 520 = 34

4. 4相對頻數與預期頻數相對頻數 = 頻數 ÷ 總次數；預期頻數 = 概率 × 次數

   方法46 ÷ 200 = 0.23；0.4 × 300 = 120

   另一種做法：和理論概率比較180 ÷ 600 = 0.3，比 16 大得多

5. 5列表求概率兩顆骰子 36 格，數有利的格；和的機會不相等

   方法和是 8：(2, 6)、(3, 5)、(4, 4)、(5, 3)、(6, 2)，P = 536

   另一種做法：斜線的規律和是 8：13 − 8 = 5 格

6. 6樹形圖沿路相乘；不放回時第二次少一個

   方法3R 2B 不放回：35 × 24 = 310

   另一種做法：數有次序的結果(3 × 2) ÷ (5 × 4) = 620 = 310

7. 7概率應用題3 或 5 的倍數：10 + 6 − 2，重複的要減去

   方法1 至 30：(10 + 6 − 2) ÷ 30 = 715

   另一種做法：直接列出3、5、6、9、10、12、15、18、20、21、24、25、27、30：14 個

8. 8期望值E = Σ 值 × 概率，即很多次之後的平均

   方法轉盤 $0、$0、$10、$30：E = 40 × 14 = $10

   另一種做法：每個結果各一次的平均(0 + 0 + 10 + 30) ÷ 4 = 10

9. 9公平遊戲與預期收益預期收益 = 期望獎金 − 收費；0 就公平

   方法24 × 16 − 5 = 4 − 5 = −1

   另一種做法：想像玩 6 次(24 − 6 × 5) ÷ 6 = −1

例題

來自這個課題的不同技巧。先自己想一想，再打開看答案和步驟。

1. 例題 1必然、不可能和隨機事件 →

   擲一顆普通的骰子一次。以下哪一個是不可能事件？

   • A. 擲得 7 點
   • B. 擲得雙數
   • C. 擲得 6 點
   • D. 擲得小於 7 的數

   選出正確答案

   ▶看答案和步驟

   答案：A. 擲得 7 點

   骰子的結果只有 1 至 6，沒有 7 點，所以「擲得 7 點」一定不會發生。

2. 例題 2列表求概率 →

   同時擲兩顆骰子。下表列出兩顆骰子點數之積。兩數之積大於 5 的概率是 。

   答案用最簡分數

   ▶看答案和步驟

   答案：1318

   36 格中，積大於 5 的有 26 格：2636 = 1318。

3. 例題 3公平遊戲與預期收益 →

   玩一次遊戲要付 5 元。擲一顆骰子，擲得 6 點可得獎金 24 元，其餘沒有獎金。每玩一次的預期收益是多少元（虧蝕以負數表示）？

   ▶看答案和步驟

   答案：−1 元

   期望獎金 = 24 × 16 = 4；預期收益 = 4 − 5 = −1。